Blog 수학

분모의 유리화

무리수의 분수에서 분모를 유리화 한다. 왜? 그건 더 알아봐야겠지만…

벡터의 외적 연습문베를 풀다가 답이 3000루트5 / 루트10 이 나왔다. 답지의 답은 1500루트2. 틀림줄 알고 계산을 다시 했으나 분모의 유리화를 알게되서 그 값이 그값이라는 것을 깨달았다. 뿌듯.

오늘의 챗지피티는 역시나 거짓말을…

벡터와 점의 차이는 무엇일까?

벡터맨

우선 좌표에서 생각해야 한다. x,y 좌표를 생각하고 (1,1) 즉 x=1, y=1이라고 하면 - 점 : 그냥 (1,1)로 쓰고 실제 (1,1)에 있다. 단 아래 벡터와 달리 시작점이 없다. 시작점이 없으므로 방향도 없다. - 벡터 : 원점에서 (1,1)까지 화살표로 이은 직선을 생각하면 좋다. (1,1)로 쓰지만 시작점이 있다는 …

스칼라 삼중곱

나 따위가 스칼라 삼중곱을 이해하다니…

벡터 u,v,w 를 u부터 1행에서 3행까지 순서대로 쌓고 행렬식을 구하는 것은 u와 v,w를 외적한결과를 내적한 결과의 풀이방법이 된다.

선형계에서 매개방정식

내가 읽고 있는 선형대수 초반에 연립일차방정식에서 무수히 많은 해가 있을때 매개변수 방정식 형태로 표현이 되는데 그것의 기하학적 의미를 설명하면서 다시 나온다. 그런데 읽다 보니매개방정식이 필요한 이유가 뭐지? 라고 생각하다가 매개방정식으로만 표현해야 한다는 내용을 찾았다. 다시 책을 읽어보니 매개방정식이 필요하다가 아니라 매개방정식으로 표현할 수 있다였다. 직선을 …

2차원에서 세 점과 3차원에서 3점의 삼각형의 넓이

2차원에서 두 벡터의 길이와 정사영을 통해 구한 삼각형의 넓이와, 3차원으로 확장했을때 외적을 통해 구한 삼각형의 넓이가 왜 다를까? 계산의 잘못인가 차원으로 인해 오는 차이인가. 길이가 차이 없는 것으로 볼때는 계산을 잘못 한것 같은데...

계산이 잘못되었다. 2차원 두벡터에서 빗변에서 밑변으로 내려가는 정사영 벡터를 구했는데 이 벡터의 …

컴퓨터로부터 두뇌를 역기획 끄적임

컴퓨터는 괴델의 불완전성 정리의 아이디어를 튜링이 튜링머신으로 풀어내면서 시작?되었다. 튜링은 괴델이 수학을 구성하는 수, 기호를 모두 수로 표시할 수 있다는 아이디어를 가져왔는데, 물리적으로 0과 1을 표현할 수 밖에 없는 체계로도 복잡한 문제를 풀 수 있는 기계를 만든것이다.

GEB의 앞부분에서 저자는 GEB를 펴낸 목적이 (하도 오해 …

동차연립방정식이 나오면 왜 매번 헷갈릴까?

헷갈림 포인트 1. 동차연립방정식의 해 는 0인가 x,y,z인가 2. Ax = 0 에서 A가 x를 결정하는데 x가 해이구나 ㅎㅎㅎ 3. 해공간이 x라면 0은 무엇인가? 0의 의미를 함수로 따지면 어떤 역할인가? 절편? 4, 0의 의미가 3번의 의미로 인해 정해지면 사실 0이 제일 중요한 것으로 볼 수 …

공간을 생성하는 기저는 여러개인가?

벡터, 행렬, 선형대수학

A라는 행렬이 있고 이 행렬을 기약행사다리꼴 R로 바꾸었을떄 A의 기저와 R의 기저는 같나? 기저가 같은가의 질문을 다시 생각해보자. - 기저가 같은가 1. 기저의 벡터가 같은가 2. 기저가 생성하는 공간이 같은가

A는 2x2행렬이고 1행이 [1,1] 2행이 [0,1] 일때, R의 1행은 [1,0] 2행은 [0,1]이다. 1. 기저의 벡터가 …

오늘의 내 질문과 챗지피티의 답

chatgpt

질문 : x=y 를 함수로 볼때와 방정식으로 볼때의 차이점은?

답 : " x=y x=y"를 함수로 볼 때와 방정식으로 볼 때의 차이점은 다음과 같습니다:

함수로 볼 때: "x = y"는 함수로 볼 때, 종종 함수의 관계를 나타내지 않습니다. 함수의 정의에서, 하나의 입력값(x)에 대해 오직 하나의 출력값(y)을 …

선형결합과 선형변환의 차이

당연하긴 한데 헷갈려서 어떤 부분을 모르고 있었는지 확인해보는 시간을 가졌다. 행렬의 선형결합 = Ax 형태로 A행렬에 x벡터를 곱한 형태를 A의 열벡터에 열벡터 x의 각 원소를 곱해서 더한 형태로 표현한다. 왜 이렇게 표현할까 싶었는데 나중에 행렬변환=선형변환(맞나?) 하는 과정에서 필요하다. 근데 선형변환 할때 꼭 행렬형태여야 하나? 벡터만으로는 …

뻥쟁이 챗지피티

chat got

질문1 : R2에서 행렬식이 기하학적으로 평행사변형의 넓이 이므로 두 벡터의 행렬식이 0이 아니면 두 벡터는 선형독립이라는 것으로 이해하면 될까?

답변1 : 행렬식이 기하학적으로 평행사변형의 넓이를 나타내는 것은 맞습니다. 그러나 행렬식이 0이 아니라고 해서 두 벡터가 선형적으로 독립이라고 단정짓는 것은 올바른 결론이 아닙니다.

선형 대수에서 두 …

수능 기하 문제 25번

수능

풀이과정

문제 : 벡터 2a와 벡터 b의 차의 길이가 루트 17일때 a와 b의 차의 길이를 구하는 문제. 여기서 벡터 a의 길이는 루트 11 b의 길이는 3이다.

풀이방법 1. 벡터 a를 (a, b) 벡터 b를 (c, d)로 두고 주어진 문제의 조건 식에 모두 양변을 제곱한다. …

컴퓨터과학이 여는 세계

정보이론, 튜링머신

튜링머신이 불완전성정리와 어떤관계가 있는지 궁금해 읽기시작했는데 섀넌의 정보이론에 대한 해설도 있다. 그것도 쉽게. 정보이론은 언젠가 파악하고 싶었던 주제인데 이렇게 우연히 쉽게 이해되다니. 충격적인 밤이다. 미라클 스터디카페에 온 조람이 있다.

생성집합과 기저 좌표

생성집합과 기저의 차이가 헛갈렸는데 다음과 같이 이해하면 된다.

생성집합 : 벡터집합 S가 벡터공간 V를 생성한다, 여기서 S를 구성하는 벡터들의 선형독립성은 필수가 아니다.

기저 : 벡터집합 S가 벡터공간 V를 생성하면 기저, 단 S를 구성하는 벡터들은 서로 선형독립이어야 함

따라서 생성집합의 판단은 연립방정식의 해가 있을때로 확인할 수 …

기저와 표준기저

기저는 벡터공간을 생성(연립방정식의 해가 존재)하고 선형독립(벡터방정식의 계수가 모두 0)이다

기저벡터중 표준기저 벡터는 각 벡터의 길이가 1이고 각이 0이다.

여기서 기저벡터는 각이 0일필요가 없고 길이도 1일 필요가 없다는 것을 말해준다. 즉 우리가 흔히 사용하는 각 축의 길이가 1이고 직축의각이 0인 직교 좌표계는 표준기저벡터를 말한다.

전이행렬의 가역성

오늘의 질문 1. A → B 의 전이행렬을 서로 곱하면 항등행렬이 된다. 서로 역행렬 관계라는 것인데 그렇다면 전이행렬은 정방행렬만 있는가?

1. 전이행렬을 구하는 방법은 원래 벡터에 새로운 벡터의 역행렬을 곱하는 것과 같은가?

유클리드 벡터공간과 일반 벡터공간의 차이점은?

일반 벡터공간

유클리드 벡터공간은 유한차원 실수 내적 공간이다. 일반 벡터공간은 벡터의 가장 중요한 대수적 성질이 어떤 집합의 개체들이 만족한다면 벡터로 간주하고 그 집합을 벡터공간으로 간주한다.

공부를 점점 할 수록 집합이 매우 중요한 개념이라는 생각이 든다. 불완전성정리 때도 그렇고.

여기서 부터는 챗지피티의 대답

유클리드 벡터 공간과 일반 벡터 …

행벡터공간 열벡터공간

유클리드 벡터공간 까지는 Rn공간만 거의 나왔다. 일반벡터공간에서 나오는 행공간 Rm공간은 도무지 잘 안 그려진다. Rn의 전치가 아닌가 하는데 연립방정식으로 생각하면 계수행렬에서 행벡터는 방정식의 계수일 뿐인데...

1. 질문도 어렵네. ㅠㅠ

영공간이란?

Ax = 0 형태의 동차연립방정식의 해집합의 기저벡터가 만드는 공간 영공간의 차원은 A의 열의 개수 n에서 랭크 r을 빼면 구 할 수 있다. 영공간의 차원이 높다는 것은 n-r의 결과가 n의 기저수 보다 영공간의 기저수가 많다는 것을 의미하므로 곧 n의 선형종속이 많다고 할 수 있다.

오늘의 오답

틀린문제 : 4-7 기저의 변경 7번 .d, e문제

왜 틀렸나? : 하나의 벡터가 주어지고 어떤 기저의 좌료로 표현하고 벡터를 다시 다른 기저의 좌료포 변환하는 문제다. 원래 기저에서 새로운 기저로 좌표 변환할때 원래 기저에서 표현한 벡터의 좌료와 새로운 기저로 변환하는 전이행렬을 곱해야 하는데 원래 기저의 좌표로 …

선형변환 기저변경의 다른점

당연히 다른건데 같은것으로 생각했다. 이유는 선형변환을 제대로 이해하지 못했기 때문.

선형변환은 기저는 그대로있고 좌표만 변환하는 것이고 기저변환은 기저자체를 바꾸는 것이다. ㅎㅎ 멍청했네

행렬식 특유의 계산방법으로 인한 특성방정식의 궁금증

Ax = ƛx 고유값/벡터의 정의에서 좌변을 우변으로 이동시켜 고유값을 구하는 특성다항식은 다음과 같다. det(ƛI - A)x = 0

여기서 우변을 좌변으로 이동시키면 아래와 같이 되는데 det(A - ƛI)x = 0

두 다항식은 같은결과가 나올까?

해보니 결과는 같다. 희한하다. 왜 그러는지 좀 더 살펴봐야겠다. 행렬식 계산의 …

고유값과 고유벡터 구하는법

특성방정식을 유도하는 행렬식 det(A) = 0 이 행렬 A자체가 종속된 행이나 열을 갖는것을 의미하는 것은 아니다.

• 고유값 : Ax = ƛx 이므로 (ƛI - A)x = 0 으로 정리하여
• 특성방정식 : det(ƛI - A) = 0 을 풀면 고유값을 알 수 있다.
• 특성방정식을 통해 …
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대각화의 흐름.. 소오름..

흥미로왔던 고유값, 고유벡터 계산방법을 익히고 다음단원이 대각화가 나왔다. 처음에 대각행렬이야기 없이 뜬금없이 다음 문장으로 시작된다.

"이 절에서는 주어진 n x n 행렬 A의 고유벡터로 이루어지는 공간 Rn의 기저를 구하는 문제를 다루기로 한다."

정말 뜬근없었다. 고유값 나오다가 단원 제목은 대각화다. 대각화라고 하면 왠지 대각행렬이나 삼각행렬 등으로 …

기하/대수 중복도 세기, P행렬의 계산값이 다른 이유

수학

Q : 기하/대수 중복도 세기, P행렬의 계산값이 다른 이유 연습문제 5-2 11, 13번 문제에서 기하/대수 중복도와 P행렬 계산값이 다르다. 하지만 대각행렬 값은 같다. 왜 그럴까?

A : 해답을 다시 읽어보니 기하/대수 중복도를 고유값별로 세어서 그렇다. 전체 합은 동일 세는 방법이 틀리지 않았다. P행렬도 계산값이 특정하지 …

전이행렬

전이행렬은 기존기저의 좌표를 새로운 기저의 좌표로 표현하는 것이다.