다항식의 해가 복소수일때 켤레도 해가 되는 이유

우선

실수 계수를 가진 방정식(다항식)의 해가 복소수일 경우, 그 복소켤레도 반드시 해가 되는 이유는 다항식의 계수가 실수라는 조건과 복소켤레의 성질에 기인합니다. 이를 보다 명확하게 이해하기 위해 다음과 같은 논리적 과정을 거칠 수 있습니다.

근데 최고차항이 홀수 제곱이면 안되지 않나?

홀수 차수의 다항식은 반드시 적어도 하나의 실수 해를 가지지만, 복소수 해를 가질 수 있습니다. 이는 홀수 차수 다항식이 항상 실수 해를 하나 이상 가지지만, 나머지 해들이 복소수일 수 있다는 의미입니다.

1. 홀수 차수 다항식의 기본 성질

홀수 차수 다항식의 경우, 실수에서 양의 무한대와 음의 무한대에서의 함수 값이 서로 반대 부호를 가집니다. 예를 들어, 3차 다항식 를 생각해봅시다. 일 때 이며, 일 때 입니다. 이처럼, 홀수 차수의 다항식은 반드시 -축을 한 번은 교차하게 되어 최소 하나의 실수 해를 가집니다.

그러나, 나머지 해들이 실수일지, 아니면 복소수일지는 다항식의 구조에 따라 달라집니다. 이는 대수의 기본 정리에 의해, 차 다항식은 중근을 포함하여 복소수 집합에서 정확히 개의 근을 가진다는 것에서 비롯됩니다.

1. 홀수 차수 다항식의 복소수 해 예시

복소수 해가 있는 홀수 차수 다항식의 예를 들어보겠습니다.

예시 1: 3차 다항식

3차 다항식 를 고려해봅시다.



이 경우, 해는 모두 실수로 입니다. 즉, 이 3차 다항식은 실수 해만을 가집니다.

예시 2: 3차 다항식 

이제 다른 3차 다항식을 살펴봅시다.



이 경우, 한 실수 해와 두 개의 복소수 해를 가집니다. 이 다항식의 해를 구하면:



즉, 실수 해는  하나이고, 나머지 두 해는 복소수 해인 와 입니다. 복소수 해는 항상 복소켤레 쌍으로 나타납니다.

1. 결론

홀수 차수의 다항식은 반드시 적어도 하나의 실수 해를 가집니다. 그러나 그 외의 나머지 해들은 복소수일 수 있으며, 이때 복소수 해들은 복소켤레 쌍으로 나타납니다.