대각화의 흐름.. 소오름..

흥미로왔던 고유값, 고유벡터 계산방법을 익히고 다음단원이 대각화가 나왔다. 처음에 대각행렬이야기 없이 뜬금없이 다음 문장으로 시작된다.

"이 절에서는 주어진 n x n 행렬 A의 고유벡터로 이루어지는 공간 Rn의 기저를 구하는 문제를 다루기로 한다."

정말 뜬근없었다. 고유값 나오다가 단원 제목은 대각화다. 대각화라고 하면 왠지 대각행렬이나 삼각행렬 등으로 시작할것 같은데 고유벡터로 이루어지는 공간의 기저 라고? 라는 느낌.

하지만 한 번 아니 여러번 훑어보고 나서 이해했다. (유투브 도움도 받음) 흐름은 이렇다.

• A → P-1AP 형태의 닮음변환이라는 사상이 있다.
• 닮음변환은 행렬의 많은 성질들을 유지해 주기 때문에 아주 중요하다. B = P-1AP 면 두 행렬이 행렬식을 공유하는 등 여러가지 항목에서 닮음에 대한 불변성을 갖는다.
• 대각행렬은 매우 단순한 형태이므로 어떤 행렬 A가 닮은 대각행렬 D를 찾는다면 매우 수월하게 행렬의 성질을 파악할 수 있고 나중에 나올 행렬의 거듭제곱도 매우 쉽게 계산할 수 있다.
• 그래서 정방행렬 A가 어떠한 대각행렬과 닮았으면 대각화가능하다고 하고 P가 A를 대각화한다 고 한다.

이해하고 나면 어떻게 이런식으로 단순한 연결로 뭔가를 새로 만들 수 있는지 감동이다. 진짜 쩐다.