수학
행렬식 특유의 계산방법으로 인한 특성방정식의 궁금증
by GUSAND
July 22, 2024, 10:38 a.m.
Web Design
Freebies
Ax = ƛx 고유값/벡터의 정의에서 좌변을 우변으로 이동시켜 고유값을 구하는 특성다항식은 다음과 같다. det(ƛI - A)x = 0
여기서 우변을 좌변으로 이동시키면 아래와 같이 되는데 det(A - ƛI)x = 0
두 다항식은 같은결과가 나올까?
해보니 결과는 같다. 희한하다. 왜 그러는지 좀 더 살펴봐야겠다. 행렬식 계산의 특이성인가 아니면 원래 그런걸까 흠..
Leave a Comment:
Are You Sure?
gusand::gpt의 가르침
네, 고유값을 구하는 과정에서 \(\det(\lambda I - A) = 0\) 대신 \(\det(A - \lambda I) = 0\)를 써도 됩니다. 이 두 식은 기본적으로 같은 의미를 가지기 때문입니다. 구체적으로 살펴보면:
### 행렬 \(A\)의 고유값 구하기
행렬 \(A\)의 고유값을 구하기 위해 특성다항식을 설정합니다. 특성다항식은 다음과 같이 정의됩니다:
\[ \det(\lambda I - A) = 0 \]
여기서:
- \(\lambda\)는 고유값을 나타내는 변수입니다.
- \(I\)는 단위 행렬입니다.
- \(A\)는 주어진 행렬입니다.
- \(\det\)은 행렬식을 의미합니다.
### \(\det(\lambda I - A)\)와 \(\det(A - \lambda I)\)의 관계
특성다항식에서 \(\lambda I - A\)와 \(A - \lambda I\)는 행렬식의 특성 때문에 결과적으로 같은 다항식을 제공합니다. 즉:
\[ \det(\lambda I - A) = \det(-(A - \lambda I)) \]
여기서, 행렬식의 성질에 따라 \(\det(cA) = c^n \det(A)\) (여기서 \(c\)는 스칼라, \(A\)는 \(n \times n\) 행렬) 이므로:
\[ \det(-(A - \lambda I)) = (-1)^n \det(A - \lambda I) \]
하지만 행렬 \(A\)가 \(n \times n\) 행렬일 때, \(n\)이 짝수라면 \((-1)^n = 1\)이고, 홀수라면 \((-1)^n = -1\)입니다. 따라서:
- \(n\)이 짝수인 경우: \(\det(\lambda I - A) = \det(A - \lambda I)\)
- \(n\)이 홀수인 경우: \(\det(\lambda I - A) = -\det(A - \lambda I)\)
결국, \(\det(\lambda I - A) = 0\)와 \(\det(A - \lambda I) = 0\)은 동일한 고유값 \(\lambda\)를 제공합니다. 즉, 고유값을 구하는 데 있어 두 식을 어느 것을 사용해도 문제가 없습니다.
따라서, \(\det(\lambda I - A) = 0\) 대신 \(\det(A - \lambda I) = 0\)를 사용해도 동일한 고유값을 구할 수 있습니다.
gpt의 가르침
네, 고유값을 구하는 과정에서 \(\det(\lambda I - A) = 0\) 대신 \(\det(A - \lambda I) = 0\)를 써도 됩니다. 이 두 식은 기본적으로 같은 의미를 가지기 때문입니다. 구체적으로 살펴보면:
### 행렬 \(A\)의 고유값 구하기
행렬 \(A\)의 고유값을 구하기 위해 특성다항식을 설정합니다. 특성다항식은 다음과 같이 정의됩니다:
\[ \det(\lambda I - A) = 0 \]
여기서:
- \(\lambda\)는 고유값을 나타내는 변수입니다.
- \(I\)는 단위 행렬입니다.
- \(A\)는 주어진 행렬입니다.
- \(\det\)은 행렬식을 의미합니다.
### \(\det(\lambda I - A)\)와 \(\det(A - \lambda I)\)의 관계
특성다항식에서 \(\lambda I - A\)와 \(A - \lambda I\)는 행렬식의 특성 때문에 결과적으로 같은 다항식을 제공합니다. 즉:
\[ \det(\lambda I - A) = \det(-(A - \lambda I)) \]
여기서, 행렬식의 성질에 따라 \(\det(cA) = c^n \det(A)\) (여기서 \(c\)는 스칼라, \(A\)는 \(n \times n\) 행렬) 이므로:
\[ \det(-(A - \lambda I)) = (-1)^n \det(A - \lambda I) \]
하지만 행렬 \(A\)가 \(n \times n\) 행렬일 때, \(n\)이 짝수라면 \((-1)^n = 1\)이고, 홀수라면 \((-1)^n = -1\)입니다. 따라서:
- \(n\)이 짝수인 경우: \(\det(\lambda I - A) = \det(A - \lambda I)\)
- \(n\)이 홀수인 경우: \(\det(\lambda I - A) = -\det(A - \lambda I)\)
결국, \(\det(\lambda I - A) = 0\)와 \(\det(A - \lambda I) = 0\)은 동일한 고유값 \(\lambda\)를 제공합니다. 즉, 고유값을 구하는 데 있어 두 식을 어느 것을 사용해도 문제가 없습니다.
따라서, \(\det(\lambda I - A) = 0\) 대신 \(\det(A - \lambda I) = 0\)를 사용해도 동일한 고유값을 구할 수 있습니다.
Updated: July 22, 2024, 10:47 a.m.
Are You Sure?
gusand::네, 좋은 질문입니다.
\(\det(\lambda I - A)\)와 \(\det(A - \lambda I)\)가 부호가 달라지므로 엄밀히 말하면 두 다항식은 서로 다릅니다. 다만, 중요한 점은 고유값을 구할 때, 이 두 다항식의 근은 동일하다는 점입니다. 이는 고유값을 찾는 문제에서는 다항식의 근(영점)이 동일하기 때문에 부호가 달라도 결과적으로 동일한 고유값을 제공합니다.
### 예시를 통해 설명
특정 행렬 \(A\)에 대해 다음과 같은 두 다항식을 고려해 봅시다:
1. \(\det(\lambda I - A)\)
2. \(\det(A - \lambda I)\)
이 두 다항식이 실제로 서로 부호가 반대인지 확인해 보겠습니다. 예를 들어, \(A\)가 \(2 \times 2\) 행렬인 경우를 생각해 보겠습니다:
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
#### \(\det(\lambda I - A)\):
\[ \lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{pmatrix} \]
이제 이 행렬의 행렬식을 계산해 봅시다:
\[ \det(\lambda I - A) = (\lambda - a)(\lambda - d) - (-b)(-c) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) \]
#### \(\det(A - \lambda I)\):
\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix} \]
이제 이 행렬의 행렬식을 계산해 봅시다:
\[ \det(A - \lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - (b)(c) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) \]
#### 부호 관계 확인:
\[ \det(\lambda I - A) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) \]
\[ \det(A - \lambda I) = (-1)^2 \det(\lambda I - A) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) \]
이 경우 \( \det(\lambda I - A) \)와 \( \det(A - \lambda I) \)는 동일한 다항식이 됩니다.
그러나, 예를 들어 행렬 \(A\)가 \(3 \times 3\) 행렬인 경우, 다음과 같은 관계가 성립합니다:
\[ \det(\lambda I - A) = (-1)^3 \det(A - \lambda I) = -\det(A - \lambda I) \]
### 결론
- **다항식의 차이**: \(\det(\lambda I - A)\)와 \(\det(A - \lambda I)\)는 부호가 다르므로 다항식 자체는 다릅니다.
- **고유값의 동일성**: 이 다항식들이 가지는 근(고유값)은 동일합니다. 따라서 고유값을 찾는 문제에서는 부호 차이가 영향을 주지 않습니다.
그래서, 부호가 달라도 고유값을 찾는 데 있어서는 두 다항식이 동일한 근을 제공한다는 점에서 사용에 문제가 없습니다.
네, 좋은 질문입니다.
\(\det(\lambda I - A)\)와 \(\det(A - \lambda I)\)가 부호가 달라지므로 엄밀히 말하면 두 다항식은 서로 다릅니다. 다만, 중요한 점은 고유값을 구할 때, 이 두 다항식의 근은 동일하다는 점입니다. 이는 고유값을 찾는 문제에서는 다항식의 근(영점)이 동일하기 때문에 부호가 달라도 결과적으로 동일한 고유값을 제공합니다.
### 예시를 통해 설명
특정 행렬 \(A\)에 대해 다음과 같은 두 다항식을 고려해 봅시다:
1. \(\det(\lambda I - A)\)
2. \(\det(A - \lambda I)\)
이 두 다항식이 실제로 서로 부호가 반대인지 확인해 보겠습니다. 예를 들어, \(A\)가 \(2 \times 2\) 행렬인 경우를 생각해 보겠습니다:
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
#### \(\det(\lambda I - A)\):
\[ \lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{pmatrix} \]
이제 이 행렬의 행렬식을 계산해 봅시다:
\[ \det(\lambda I - A) = (\lambda - a)(\lambda - d) - (-b)(-c) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) \]
#### \(\det(A - \lambda I)\):
\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix} \]
이제 이 행렬의 행렬식을 계산해 봅시다:
\[ \det(A - \lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - (b)(c) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) \]
#### 부호 관계 확인:
\[ \det(\lambda I - A) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) \]
\[ \det(A - \lambda I) = (-1)^2 \det(\lambda I - A) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) \]
이 경우 \( \det(\lambda I - A) \)와 \( \det(A - \lambda I) \)는 동일한 다항식이 됩니다.
그러나, 예를 들어 행렬 \(A\)가 \(3 \times 3\) 행렬인 경우, 다음과 같은 관계가 성립합니다:
\[ \det(\lambda I - A) = (-1)^3 \det(A - \lambda I) = -\det(A - \lambda I) \]
### 결론
- **다항식의 차이**: \(\det(\lambda I - A)\)와 \(\det(A - \lambda I)\)는 부호가 다르므로 다항식 자체는 다릅니다.
- **고유값의 동일성**: 이 다항식들이 가지는 근(고유값)은 동일합니다. 따라서 고유값을 찾는 문제에서는 부호 차이가 영향을 주지 않습니다.
그래서, 부호가 달라도 고유값을 찾는 데 있어서는 두 다항식이 동일한 근을 제공한다는 점에서 사용에 문제가 없습니다.
Updated: July 23, 2024, 10:01 a.m.
Are You Sure?
gusand::항상 알고나면 바보 였다는 생각이 든다.
아무튼 특성다항식은 det값을 구하는것이 아니라 특성방정식의 근을 구하는 것이므로 부호는 상관이 없다.
-x + 1 = 0
x - 1 = 0
과 같은 형태가 된다.
항상 알고나면 바보 였다는 생각이 든다.
아무튼 특성다항식은 det값을 구하는것이 아니라 특성방정식의 근을 구하는 것이므로 부호는 상관이 없다.
-x + 1 = 0
x - 1 = 0
과 같은 형태가 된다.
Updated: July 23, 2024, 10:04 a.m.