유클리드 벡터공간과 일반 벡터공간의 차이점은?

유클리드 벡터공간은 유한차원 실수 내적 공간이다. 일반 벡터공간은 벡터의 가장 중요한 대수적 성질이 어떤 집합의 개체들이 만족한다면 벡터로 간주하고 그 집합을 벡터공간으로 간주한다.

공부를 점점 할 수록 집합이 매우 중요한 개념이라는 생각이 든다. 불완전성정리 때도 그렇고.

여기서 부터는 챗지피티의 대답

유클리드 벡터 공간과 일반 벡터 공간은 모두 벡터들의 집합을 의미하지만, 몇 가지 중요한 차이가 있습니다.

내적의 존재 여부: 유클리드 벡터 공간은 내적이 존재하는 벡터 공간입니다. 내적은 두 벡터 간의 곱셈이며, 이를 통해 벡터 간의 각도, 길이 및 거리 등을 정의할 수 있습니다. 예를 들어, 유클리드 공간에서는 두 벡터의 내적을 이용하여 두 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있습니다. 반면에 일반 벡터 공간에서는 내적이 정의되어 있지 않을 수 있습니다. 메트릭의 유형: 유클리드 공간은 유클리드 거리 메트릭을 사용하여 거리를 측정합니다. 이는 각 차원의 차이를 제곱하여 더한 후 제곱근을 취하는 방식입니다. 반면에 일반 벡터 공간에서는 다른 메트릭도 가능합니다. 예를 들어, 맨하탄 거리 메트릭은 각 차원의 차이의 절댓값을 더한 것입니다. 차원의 제한: 유클리드 공간은 주로 3차원 이하의 공간을 다루지만, 이론적으로는 어떤 차원의 공간도 포함할 수 있습니다. 반면에 일반 벡터 공간은 차원에 제한이 없습니다. 기하학적 의미: 유클리드 벡터 공간은 기하학적인 의미를 가집니다. 즉, 벡터의 길이, 각도, 거리 등을 기하학적으로 해석할 수 있습니다. 반면에 일반 벡터 공간은 이러한 기하학적 해석이 없을 수 있습니다. 요약하면, 유클리드 벡터 공간은 내적이 존재하고 유클리드 거리 메트릭을 사용하여 거리를 측정하는 공간이며, 기하학적인 의미를 갖습니다. 일반 벡터 공간은 내적이나 특정한 거리 메트릭에 제한이 없으며, 차원에 제한이 없을 수 있습니다.