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질문1 : R2에서 행렬식이 기하학적으로 평행사변형의 넓이 이므로 두 벡터의 행렬식이 0이 아니면 두 벡터는 선형독립이라는 것으로 이해하면 될까?

답변1 : 행렬식이 기하학적으로 평행사변형의 넓이를 나타내는 것은 맞습니다. 그러나 행렬식이 0이 아니라고 해서 두 벡터가 선형적으로 독립이라고 단정짓는 것은 올바른 결론이 아닙니다.

선형 대수에서 두 벡터의 선형 독립성은 벡터들의 선형 결합에 의해 영벡터(모든 성분이 0인 벡터)를 생성할 수 있는지 여부에 기반합니다. 즉, 벡터 v와 벡터 u가 있을 때, 다음 관계가 성립하면 두 벡터는 선형적으로 독립입니다. 만약, c1v+c2u=0c1​ v+c 2 u=0 이면, c1=c2=0c1 =c 2 =0 여야 합니다.

행렬식이 0이 아니라는 것은 해당 벡터들이 선형적으로 독립적이라는 것을 나타내지 않습니다. 예를 들어, 두 벡터의 행렬식이 0이 아니더라도, 이들이 일직선 상에 있거나 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라 배수인 경우에는 두 벡터가 선형적으로 종속일 수 있습니다.

따라서, 행렬식이 0이 아니라고 해서 두 벡터가 선형적으로 독립이라고 단정짓는 것은 잘못된 것입니다. 행렬식은 기하학적인 의미로 평행사변형의 넓이를 나타내지만, 벡터들의 선형 독립성과 직접적인 관련은 없습니다. 행렬식이 0이 아닌 경우, 즉 행렬이 풀랭크(full rank)인 경우에는 벡터들이 선형적으로 독립이라는 것을 나타낼 수 있습니다. 하지만 이는 행렬식이 0인 경우에는 선형적 종속임을 의미하는 것이 아닙니다.

만약 n차원 벡터들의 행렬이 n차원 공간에서 풀랭크를 가지면, 이 벡터들은 선형적으로 독립이며, 행렬식이 0이 아닙니다. 그러나 행렬식이 0이 아닌 경우에도, 두 벡터의 선형적 독립 여부는 명시적으로 확인되어야 합니다. 행렬식이 0이라고 해서 두 벡터가 항상 선형적으로 종속된다는 것은 올바른 결론이 아닙니다.

따라서, 행렬식이 0이 아닌 경우에는 보통 벡터들이 선형적으로 독립적일 가능성이 높지만, 이것이 절대적인 규칙은 아닙니다. 선형적인 독립성은 벡터들의 선형 결합에 의해 영벡터를 생성할 수 있는지 여부에 따라 판단되어야 합니다.

질문2 : R2에서 벡터가 2개 이상일때는 행렬식이 0이 아니더라도 독립이 될 수 있다는건가?

답변2 : 네, R2 에서 두 벡터가 있을 때 행렬식이 0이 아니라고 해서 두 벡터가 항상 선형적으로 독립이 되지는 않습니다.R2 에서의 두 벡터 v와 u에 대해, 행렬식이 0이 아니라는 것은 해당 두 벡터가 평행사변형의 넓이를 0이 아닌 값을 갖는다는 것을 의미합니다. 이는 기하학적으로 이 벡터들이 일직선 상에 위치하지 않음을 나타내는 것이지만, 이것이 반드시 선형적으로 독립이라는 것은 보장되지 않습니다.

예를 들어, 두 벡터가 동일한 방향을 가지거나, 한 벡터가 다른 벡터의 상수배인 경우, 이 두 벡터는 일직선 상에 있으며 행렬식은 0이 아니지만 선형적으로 종속적입니다. 따라서, 행렬식이 0이 아니라고 해서 두 벡터가 항상 선형적으로 독립이 되는 것은 아닙니다. 선형적인 독립성은 두 벡터의 선형 결합을 통해 영벡터를 생성할 수 있는지 여부에 의해 결정됩니다.

질문3 : 두 벡터가 동일한 방향을 가지거나, 한 벡터가 다른 벡터의 상수배인 경우는 행렬식이 0이잖아

답변3 : 네, 맞습니다. 죄송합니다. 제가 혼동을 일으키는 설명을 드렸네요.

두 벡터가 동일한 방향을 가지거나, 한 벡터가 다른 벡터의 상수배인 경우에는 행렬식이 0이 됩니다. 이 경우에는 행렬이 특이행렬(singular matrix)이 되어서 행렬식이 0이 되는 것이 맞습니다.

이러한 경우, 행렬식이 0이 되기 때문에 이들 벡터는 일차종속(linearly dependent)이며, 선형적으로 독립적이지 않습니다. 따라서, 행렬식이 0인 경우에는 두 벡터가 선형적으로 종속(dependent)되어 있다고 판단할 수 있습니다.

정리하자면, 두 벡터가 동일한 방향을 가지거나 한 벡터가 다른 벡터의 상수배인 경우에는 행렬식이 0이 되며, 이는 선형적으로 종속(dependent)된 벡터들임을 나타냅니다.