선형결합과 선형변환의 차이
by GUSAND
당연하긴 한데 헷갈려서 어떤 부분을 모르고 있었는지 확인해보는 시간을 가졌다. 행렬의 선형결합 = Ax 형태로 A행렬에 x벡터를 곱한 형태를 A의 열벡터에 열벡터 x의 각 원소를 곱해서 더한 형태로 표현한다. 왜 이렇게 표현할까 싶었는데 나중에 행렬변환=선형변환(맞나?) 하는 과정에서 필요하다. 근데 선형변환 할때 꼭 행렬형태여야 하나? 벡터만으로는 안되나?
벡터의 선형결합 = 계수를 곱한 벡터들의 덧셉으로 표현한다. 여기서 계수는 벡터의 각 원소가 되고 벡터는 주로 단위벡터가(좌표축의 단위) 된다. (3,0) 벡터는 x,y축이 각 1의 눈금으로 그려진 그래프에서 3(1,0) + 0(0,1)로 표현한다. 각 축에서 점의 이동을 생각해보면 된다.
질문: 선형변환과 선형결합은 차이가 있을까?
대답: 선형변환과 선형결합은 선형 대수학에서 중요한 두 가지 다른 개념입니다.
선형변환 (Linear Transformation):
선형변환은 벡터 공간 내에서 벡터들 간의 변환을 의미합니다. 선형변환은 두 개의 벡터 공간 사이에서 정의되며, 원래 벡터 공간의 각 벡터를 다른 벡터 공간 내의 벡터로 매핑(mapping)합니다.
선형변환은 다음 두 가지 조건을 만족해야 합니다:
영벡터(zero vector)는 자기 자신으로 매핑됩니다:
T(0)=0
T(0)=0.
임의의 두 벡터
u
,
v
u,v와 스칼라
c
c에 대해,
T
(
c
u
+
v
)
=
c
T
(
u
)
+
T
(
v
)
T(cu+v)=cT(u)+T(v)가 성립합니다.
선형변환은 행렬로 나타낼 수 있으며, 이를 선형변환 행렬 또는 변환자로 표현할 수 있습니다.
선형결합 (Linear Combination):
선형결합은 주어진 벡터들을 스칼라와의 곱과 덧셈 연산을 통해 새로운 벡터를 만드는 것을 말합니다. 벡터들의 선형조합으로 새로운 벡터를 형성하는 것입니다.
선형결합은 c1v1+c2v2+…cnvn c1
v
1
+c
2
v
2
+…+c
n
v
n
과 같이 표현됩니다. 여기서
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
v
1
,v
2
,…,v
n
은 주어진 벡터이고,
c
1
,
c
2
,
…
,
c
n
c
1
,c
2
,…,c
n
은 스칼라입니다.
따라서, 선형변환은 벡터 공간 내에서 벡터를 변환하는 것이고, 선형결합은 주어진 벡터들의 조합을 통해 새로운 벡터를 형성하는 것입니다. 선형변환은 변환의 개념을 가지고 있으며, 선형결합은 벡터들 간의 조합을 표현하는 개념입니다.
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